Prépa Agrégation interne de mathématiques¶

217 — Équations différentielles linéaires d'ordre deux¶

Type : planche de leçon

Fil directeur¶

Partir de la structure de l'espace des solutions d'une équation linéaire d'ordre deux, relier existence-unicité, système fondamental et Wronskien, puis organiser les principales méthodes de résolution jusqu'à la variation des constantes et aux exemples.

Positionnement¶

Type : leçon.
Fil directeur :

$$ \text{Cauchy} \to \dim S_H=2 \to \text{système fondamental} \to \text{Wronskien} \to \text{résolution}. $$

Plan de la leçon¶

I. Structure des solutions¶

1. Équation homogène associée¶

$$ (H)\qquad x''+a(t)x'+b(t)x=0. $$

2. Problème de Cauchy¶

Pour $t_0\in I$,

$$ x(t_0)=x_0,\qquad x'(t_0)=x_1. $$

3. Existence et unicité¶

Sous l'hypothèse de continuité de $a,b,c$, le problème de Cauchy possède une unique solution sur $I$.

4. Dimension¶

L'espace $S_H$ des solutions de $(H)$ est un espace vectoriel de dimension $2$.

II. Système fondamental et Wronskien¶

Pour deux solutions $x_1,x_2$, on définit

$$ W(x_1,x_2)(t) = x_1(t)x_2'(t)-x_1'(t)x_2(t). $$

Une famille de deux solutions constitue un système fondamental si et seulement si son Wronskien est non nul en un point, et alors il ne s'annule sur aucun point de l'intervalle.

Formule d'Abel¶

Le Wronskien satisfait

$$ W'+aW=0. $$

Ainsi, si $A'=a$,

$$ W(t)=Ce^{-A(t)}. $$

III. Résolution¶

1. Coefficients constants¶

Pour

$$ x''+\alpha x'+\beta x=0, $$

on étudie

$$ r^2+\alpha r+\beta=0. $$

On distingue :

  • deux racines distinctes ;
  • une racine double ;
  • deux racines complexes conjuguées.

2. Équation avec second membre¶

Si $x_p$ est une solution particulière,

$$ S=x_p+S_H. $$

3. Variation des constantes¶

Une base fondamentale permet de construire une solution particulière.

IV. Exemples et applications¶

  • oscillateur harmonique ;
  • oscillateur amorti ;
  • oscillations forcées ;
  • résonance ;
  • équations à coefficients variables.

Exemples et contre-exemples¶

Exercice 1 — coefficients constants¶

Résoudre

$$ x''-3x'+2x=0. $$

Motivation : maîtriser le cas élémentaire et l'équation caractéristique.

Exercice 2 — problème de Cauchy¶

Résoudre

$$ x''+x=0, \qquad x(0)=1,\quad x'(0)=0. $$

Motivation : relier la dimension $2$ aux deux données initiales.

Exercice 3 — second membre¶

Résoudre

$$ x''+x=\cos t. $$

Motivation : faire apparaître le phénomène de résonance.

Exercice 4 — Wronskien¶

Pour deux solutions de

$$ x''+a(t)x'+b(t)x=0, $$

établir l'équation satisfaite par leur Wronskien.

Motivation : préparer directement le développement choisi.

  • Ne pas appliquer aveuglément les formules à coefficients constants lorsque $a$ et $b$ dépendent de $t$.
  • Une fonction candidate doit être définie sur l'intervalle considéré.
  • L'existence d'une solution particulière ne donne pas la solution générale sans ajout des solutions homogènes.
  • En situation de résonance, l'ansatz naïf peut appartenir à l'espace des solutions homogènes.

Généralisation¶

Une EDO linéaire d'ordre $n$ se ramène à un système différentiel linéaire du premier ordre en dimension $n$.

Adaptation lycée¶

L'oscillateur

$$ x''+\omega^2x=0 $$

permet de relier trigonométrie, dérivation et modélisation d'un phénomène périodique.

Développement¶

Wronskien, système fondamental et variation des constantes¶

Ce développement est directement rattaché au cœur de la leçon 217.

Résultat préparatoire — formule d'Abel¶

Pour deux solutions $x_1,x_2$ de

$$ x''+ax'+bx=0, $$

leur Wronskien satisfait

$$ \boxed{W'+aW=0}. $$

Par conséquent,

$$ W(t)=Ce^{-A(t)} $$

où $A$ est une primitive de $a$.

Résultat — caractérisation d'un système fondamental¶

Pour deux solutions $x_1,x_2$, les assertions suivantes sont équivalentes :

$$ (x_1,x_2)\text{ système fondamental} $$

$$ \Longleftrightarrow \exists t_0,\ W(t_0)\neq0 $$

$$ \Longleftrightarrow \forall t,\ W(t)\neq0. $$

Résultat central — variation des constantes¶

Soit $(x_1,x_2)$ un système fondamental de l'équation homogène.

On cherche une solution particulière de

$$ x''+ax'+bx=c $$

sous la forme

$$ x_p=u_1x_1+u_2x_2. $$

On obtient le système

$$ \begin{cases} u_1'x_1+u_2'x_2=0,\\ u_1'x_1'+u_2'x_2'=c. \end{cases} $$

Son déterminant est le Wronskien, d'où

$$ \boxed{ u_1'=-\frac{x_2c}{W}, \qquad u_2'=\frac{x_1c}{W}. } $$

Architecture¶

$$ \boxed{ \text{Abel} \to \text{Wronskien} \to \text{système fondamental} \to \text{variation des constantes} } $$

Développement choisi pour la planche 217.

Python / visualisation¶

Oscillateur amorti¶

On considère

$$ x''+2\lambda x'+\omega_0^2x=0. $$

Faire varier $\lambda$ permet d'observer les différents régimes.

Question de conjecture¶

Que semble-t-il se produire lorsque $\lambda$ franchit la valeur $\omega_0$ ?

Expérimentation → preuve¶

La visualisation permet de conjecturer les régimes.

La preuve repose ensuite sur le discriminant de l'équation caractéristique.

In [ ]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ipywidgets import interact, FloatSlider

@interact(
    lam=FloatSlider(min=0, max=2, step=0.05, value=0.25),
    omega0=FloatSlider(min=0.25, max=2, step=0.05, value=1)
)
def explorer_oscillateur(lam=0.25, omega0=1.0):
    t = np.linspace(0, 20, 1000)
    d = lam**2 - omega0**2

    if d < 0:
        w = np.sqrt(omega0**2-lam**2)
        x = np.exp(-lam*t)*np.cos(w*t)
        regime = "pseudo-périodique"
    elif abs(d) < 1e-10:
        x = (1+t)*np.exp(-lam*t)
        regime = "critique"
    else:
        r1 = -lam + np.sqrt(d)
        r2 = -lam - np.sqrt(d)
        x = 0.5*np.exp(r1*t)+0.5*np.exp(r2*t)
        regime = "apériodique"

    plt.figure(figsize=(9,4))
    plt.plot(t,x)
    plt.axhline(0, linewidth=.8)
    plt.xlabel("t")
    plt.ylabel("x(t)")
    plt.title(regime)
    plt.grid()
    plt.show()

Références¶

Hiérarchie documentaire utilisée¶

  1. Rapports du jury de l'Agrégation interne de mathématiques
    Référence prioritaire pour les attentes de l'épreuve, les points de vigilance et les exigences scientifiques.

  2. Agrég Maths en ligne / travaux de préparationnaires
    Comparaison des plans, exemples et développements effectivement utilisés.

  3. Ressources personnelles et institutionnelles
    Vérification et approfondissement des résultats mathématiques.

Bibliographie finale¶

Documents sans ISBN¶

  • Programme officiel de l'Agrégation interne de mathématiques.
  • Rapports du jury de l'Agrégation interne de mathématiques.
  • Agrég Maths en ligne — plans et travaux de préparationnaires.
  • PolyCoursMathsTelecom — ressource PDF disponible dans les ressources du VPS.

La bibliographie détaillée et les références fines utilisées pour la préparation restent conservées dans le dossier privé.

Références avec ISBN¶

  • X. Gourdon — Les maths en tête — Analyse
    Référence de cours pour les équations différentielles et les résultats fondamentaux d'analyse.

  • L. T. Peccatte & L. Isenmann — L'oral à l'agrégation de mathématiques
    Référence pour la préparation et la structuration de l'épreuve orale.