Prépa Agrégation interne de mathématiques¶

414 — Exemples d'utilisation des développements limités de fonctions d'une ou plusieurs variables¶

Type : planche d'exercices / exemples

Fil directeur¶

Utiliser le développement limité comme un outil transversal : calculer un comportement asymptotique, interpréter localement une courbe ou une fonction de plusieurs variables, puis mobiliser l'approximation obtenue dans des problèmes de démonstration et de calcul numérique.

Positionnement¶

À l'issue de cette planche, on devra être capable de :

  • reconnaître une situation où un développement limité est pertinent ;
  • choisir l'ordre de développement adapté ;
  • justifier rigoureusement l'utilisation d'un DL ;
  • exploiter un DL dans une preuve ;
  • utiliser un DL dans un développement d'oral ;
  • identifier les principales leçons où interviennent les DL ;
  • illustrer les DL grâce à Python.

La séance de préparation de Lille associe trois sujets :

Code Sujet Lien avec cette planche
209 Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications. Fondation théorique des DL
222 Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité, fonctions de classe $C^1$. Exemples. Passage à plusieurs variables
414 Exemples d'utilisation de développements limités de fonctions d'une ou plusieurs variables. Sujet principal de ce Labo

Le Labo 414 doit donc être compris comme une charnière entre les sujets 209 et 222 :

$$ 209\quad\longrightarrow\quad414\quad\longleftarrow\quad222. $$

Le fil directeur retenu est :

Quand, pourquoi et jusqu'à quel ordre utiliser un développement limité ?

Le but n'est pas de refaire tout le cours sur les développements limités, mais de présenter une sélection cohérente d'applications représentatives.

Exercices progressifs¶

Exercice 1 — Choisir l'ordre : limite avec compensation¶

Étudier

$$ \lim_{x\to0} \frac{ e^x-1-x-\frac{x^2}{2} }{ x^3 }. $$

Motivation¶

L'objectif n'est pas seulement de calculer un DL de $e^x$, mais de comprendre pourquoi l'ordre trois est nécessaire.

Corrigé

On utilise

$$ e^x = 1+x+\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6} +o(x^3). $$

Ainsi

$$ e^x-1-x-\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{6} +o(x^3), $$

d'où

$$ \frac{ e^x-1-x-\frac{x^2}{2} }{ x^3 } = \frac16+o(1). $$

Donc

$$ \boxed{\frac16}. $$

Question jury : pourquoi un DL à l'ordre deux est-il insuffisant ?

Exercice 2 — Position d'une courbe par rapport à sa tangente¶

Étudier au voisinage de $0$ la position relative de la courbe de

$f(x)=\ln(1+x)$

et de sa tangente en $0$.

Motivation¶

Passer du calcul formel à une interprétation géométrique.

Corrigé

On a

$$ \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} +o(x^2). $$

La tangente en $0$ est $y=x$.

Donc

$$ f(x)-x = -\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} +o(x^3). $$

Le premier terme non nul est

$-\frac{x^2}{2}<0$

pour $x\neq0$ suffisamment proche de $0$.

La courbe est donc localement située sous sa tangente.

Exercice 3 — Une inégalité obtenue par analyse locale¶

Montrer qu'il existe $\eta>0$ tel que, pour tout $x\in(-\eta,\eta)$,

$$ \cos x \leq 1-\frac{x^2}{3}. $$

Motivation¶

Utiliser le DL comme outil de preuve, et non uniquement de calcul.

Corrigé

Au voisinage de $0$,

$$ \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2). $$

Ainsi

$$ \cos x- \left( 1-\frac{x^2}{3} \right) = -\frac{x^2}{6}+o(x^2). $$

Donc

$$ \frac{ \cos x-(1-x^2/3) }{ x^2 } \longrightarrow -\frac16. $$

Cette quantité est donc négative pour $x\neq0$ suffisamment proche de $0$.

Il existe donc $\eta>0$ tel que

$$ \boxed{ \cos x \leq 1-\frac{x^2}{3} } $$

pour $|x|<\eta$.

Exercice 4 — Deux variables et Hessienne¶

Étudier la nature de l'origine pour

$f(x,y)=x^2+2y^2+x^3$.

Puis expliquer pourquoi le même raisonnement ne permet pas de conclure immédiatement pour

$g(x,y)=x^4-y^4$.

Motivation¶

Relier les sujets 222 et 414 et comprendre à la fois la puissance et les limites du critère quadratique.

Corrigé

Pour $f$,

$\nabla f(0,0)=0$.

La Hessienne en $(0,0)$ vaut

$$ H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&4 \end{pmatrix}. $$

Elle est définie positive.

Ainsi

$$ f(x,y) = x^2+2y^2+o(x^2+y^2), $$

et l'origine est un minimum local strict.

Pour $g$,

$H_g(0,0)=0$.

Le terme d'ordre deux ne donne aucune information.

Mais

$g(x,0)=x^4>0$

et

$g(0,y)=-y^4<0$

pour $x,y\neq0$.

Ainsi l'origine n'est ni un minimum ni un maximum : c'est un point selle.

Exercice 5 — Taylor et convergence de Newton¶

Soit $f\in C^2$ au voisinage d'une racine simple $\alpha$ :

$f(\alpha)=0, \qquad f'(\alpha)\neq0$.

On considère

$$ x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. $$

En supposant que $x_n\to\alpha$, établir l'asymptotique

$$ x_{n+1}-\alpha = \frac{f''(\alpha)} {2f'(\alpha)} (x_n-\alpha)^2 + o\left((x_n-\alpha)^2\right). $$

En déduire

$$ x_{n+1}-\alpha = O\left((x_n-\alpha)^2\right), $$

puis expliquer pourquoi ce calcul asymptotique ne suffit pas, à lui seul, à démontrer la convergence de la suite de Newton.

Motivation¶

Corrigé

Posons

$e_n=x_n-\alpha$.

Taylor en $\alpha$ donne

$$ f(x_n) = f'(\alpha)e_n + \frac12 f''(\alpha)e_n^2 + o(e_n^2). $$

De plus,

$f'(x_n) = f'(\alpha)+O(e_n)$.

En utilisant la formule de Newton,

$$ e_{n+1} = e_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. $$

Après développement du quotient,

$$ e_{n+1} = \frac{f''(\alpha)} {2f'(\alpha)} e_n^2 + o(e_n^2). $$

Ainsi

$$ \boxed{ e_{n+1}=O(e_n^2) }. $$

C'est l'origine de la convergence quadratique locale, sous des hypothèses supplémentaires assurant que l'itération reste dans le voisinage considéré.

Exercice phare¶

Pourquoi ce choix ?¶

Ce développement relie directement :

  • Taylor ;
  • développements asymptotiques ;
  • résolution numérique ;
  • vitesse de convergence ;
  • sujet 209 ;
  • sujet 414 ;
  • sujet 430 de la séance du 23 septembre.

Il possède donc un fort pouvoir transversal.

Énoncé de travail¶

Soit $f$ de classe $C^2$ au voisinage de $\alpha$ avec

$f(\alpha)=0, \qquad f'(\alpha)\neq0$.

Pour $x_0$ suffisamment proche de $\alpha$, on considère

$$ x_{n+1} = x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. $$

Sous les hypothèses locales permettant de définir l'itération, on obtient asymptotiquement

$$ x_{n+1}-\alpha \sim \frac{f''(\alpha)} {2f'(\alpha)} (x_n-\alpha)^2 $$

lorsque $f''(\alpha)\neq0$.

Canevas à maîtriser sans notes¶

  1. Poser $e_n=x_n-\alpha$.

  2. Développer $f(\alpha+e_n)$ à l'ordre deux.

  3. Développer $f'(\alpha+e_n)$ à l'ordre un.

  4. Injecter dans l'itération de Newton.

  5. Montrer l'annulation du terme linéaire.

  6. Identifier le terme quadratique.

  7. Conclure sur la vitesse locale.

Point de vigilance¶

Le calcul asymptotique explique la vitesse une fois la convergence locale assurée.

Il ne suffit pas, à lui seul, à démontrer que toute suite de Newton converge.

Python / visualisation¶

Question¶

Deux paramètres interviennent dans la qualité de l'approximation :

  • l'ordre $n$ du développement ;
  • la taille du voisinage autour du point de développement.

Manipuler les curseurs puis répondre :

Augmenter l'ordre et réduire le voisinage produisent-ils le même effet ?

Après expérimentation, revenir à la définition du reste $o(x^n)$ pour formuler une réponse rigoureuse.

In [ ]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

import ipywidgets as widgets
from ipywidgets import interact


def taylor_exp(x, n):
    y = np.zeros_like(x, dtype=float)
    for k in range(n + 1):
        y += x**k / math.factorial(k)
    return y


@interact(
    ordre=widgets.IntSlider(
        min=0,
        max=8,
        step=1,
        value=2,
        description="ordre"
    ),
    rayon=widgets.FloatSlider(
        min=0.2,
        max=3.0,
        step=0.1,
        value=1.0,
        description="rayon"
    )
)
def explorer_DL(ordre=2, rayon=1.0):

    x = np.linspace(-rayon, rayon, 600)

    exact = np.exp(x)
    approx = taylor_exp(x, ordre)

    plt.figure(figsize=(8, 5))

    plt.plot(
        x,
        exact,
        label=r"$e^x$"
    )

    plt.plot(
        x,
        approx,
        "--",
        label=f"Taylor ordre {ordre}"
    )

    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.title(
        f"Approximation locale de exp(x) — ordre {ordre}"
    )

    plt.grid()
    plt.legend()
    plt.show()

    erreur = np.max(
        np.abs(exact - approx)
    )

    print(
        "Erreur maximale sur la fenêtre :",
        f"{erreur:.3e}"
    )

Références¶

Hiérarchie documentaire utilisée¶

  1. Rapports du jury de l'Agrégation interne de mathématiques
    Référence prioritaire pour les attentes de l'épreuve, les points de vigilance et les exigences scientifiques.

  2. Agrég Maths en ligne / travaux de préparationnaires
    Comparaison des plans, exercices, exemples et développements effectivement utilisés.

  3. Ressources personnelles et institutionnelles
    Livres, PDF, polycopiés et ressources disponibles sur le VPS pour la vérification et l'approfondissement mathématique.

Bibliothèque personnelle prioritaire¶

  • X. Gourdon — Les maths en tête : Analyse
    Référence principale pour Taylor, développements limités, équivalents et analyse locale.

  • L. T. Peccatte & L. Isenmann — L'oral à l'agrégation de mathématiques
    Référence de préparation aux choix d'exercices et à leur présentation.

  • J.-M. Garnier — Les mathématiques du CAPES
    Référence complémentaire pour certains fondamentaux et exercices.

Documents sans ISBN¶

  • Programme officiel de l'Agrégation interne.
  • Rapports de jury de l'Agrégation interne de mathématiques.
  • Ressources institutionnelles et polycopiés présents sur le VPS.

Référencement précis à renseigner depuis les exemplaires disponibles¶

Les numéros de chapitres/pages seront renseignés à partir des exemplaires effectivement disponibles dans la bibliothèque personnelle.

Références avec ISBN¶

À compléter uniquement à partir des ouvrages effectivement vérifiés dans la bibliothèque de travail.